Algebra Beispiele

$x^{4} - 9 x^{3} + 12 x^{2} + 80 x - 192$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$12 x^{2} - 192 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 2

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} - 192$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 (x^{2}) - 192 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12$ aus $- 192$ heraus.

$12 x^{2} + 12 \cdot - 16 + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2} + 12 \cdot - 16$ heraus.

$12 (x^{2} - 16) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$12 (x^{2} - 4^{2}) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$12 ((x + 4) (x - 4)) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x + 4) (x - 4) + x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 9 x^{3} + 80 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} - 9 x^{3} + 80 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2}) + 80 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $80 x$ heraus.

$12 (x + 4) (x - 4) + x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2}) + x \cdot 80$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 9 x^{2})$ heraus.

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot 80$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot 80$ heraus.

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x^{3} - 9 x^{2} + 80)$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 80, \pm 2, \pm 40, \pm 4, \pm 20, \pm 5, \pm 16, \pm 8, \pm 10$

$q = \pm 1$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 80, \pm 2, \pm 40, \pm 4, \pm 20, \pm 5, \pm 16, \pm 8, \pm 10$

Schritt 6.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 80$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 80$

Schritt 6.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 80$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $16$ .

$64 - 144 + 80$

Schritt 6.1.3.5

Subtrahiere $144$ von $64$ .

$- 80 + 80$

Schritt 6.1.3.6

Addiere $- 80$ und $80$ .

$0$

Schritt 6.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 80}{x - 4}$

Schritt 6.1.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ durch $x - 4$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$80$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} + 20 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							-	$20 x$	+	$80$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x + 80$

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							+	$20 x$	-	$80$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$80$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$80$
							+	$20 x$	-	$80$
										$0$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 5 x - 20$

Schritt 6.1.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 80$ als eine Menge von Faktoren.

$12 (x + 4) (x - 4) + x ((x - 4) (x^{2} - 5 x - 20))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x + 4) (x - 4) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 4$ aus $12 (x + 4) (x - 4) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $12 (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$(x - 4) (12 (x + 4)) + x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $x (x - 4) (x^{2} - 5 x - 20)$ heraus.

$(x - 4) (12 (x + 4)) + (x - 4) (x (x^{2} - 5 x - 20))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x - 4) (12 (x + 4)) + (x - 4) (x (x^{2} - 5 x - 20))$ heraus.

$(x - 4) (12 (x + 4) + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 4) (12 x + 12 \cdot 4 + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Schritt 9

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x (x^{2} - 5 x - 20))$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 4) (12 x + 48 + x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 11.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{1} x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Schritt 11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{1 + 2} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Schritt 11.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} + x (- 5 x) + x \cdot - 20)$

Schritt 11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x \cdot x + x \cdot - 20)$

Schritt 11.3

Bringe $- 20$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x \cdot x - 20 \cdot x)$

Schritt 12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 (x \cdot x) - 20 \cdot x)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x^{2} - 20 \cdot x)$

$(x - 4) (12 x + 48 + x^{3} - 5 x^{2} - 20 x)$

Schritt 13

Subtrahiere $20 x$ von $12 x$ .

$(x - 4) (48 + x^{3} - 5 x^{2} - 8 x)$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$(x - 4) (x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48)$

Schritt 15

Faktorisiere.

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Schritt 15.1

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 15.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 15.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Schritt 15.1.1.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 15.1.1.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 + 48$

Schritt 15.1.1.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 - 5 {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 + 48$

Schritt 15.1.1.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 - 5 \cdot 9 - 8 \cdot - 3 + 48$

Schritt 15.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$- 27 - 45 - 8 \cdot - 3 + 48$

Schritt 15.1.1.3.5

Subtrahiere $45$ von $- 27$ .

$- 72 - 8 \cdot - 3 + 48$

Schritt 15.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$- 72 + 24 + 48$

Schritt 15.1.1.3.7

Addiere $- 72$ und $24$ .

$- 48 + 48$

Schritt 15.1.1.3.8

Addiere $- 48$ und $48$ .

$0$

Schritt 15.1.1.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48}{x + 3}$

Schritt 15.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ durch $x + 3$ .

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Schritt 15.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

Schritt 15.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$

Schritt 15.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 15.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 15.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 15.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 15.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 15.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Schritt 15.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} - 24 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 15.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$

Schritt 15.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$

Schritt 15.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$

Schritt 15.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							+	$16 x$	+	$48$

Schritt 15.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x + 48$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							-	$16 x$	-	$48$

Schritt 15.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$8 x$	+	$48$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	+	$48$
							-	$16 x$	-	$48$
										$0$

Schritt 15.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 15.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 48$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 8 x + 16))$

Schritt 15.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 15.1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Schritt 15.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 15.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 4) ((x + 3) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Schritt 15.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(x - 4) ((x + 3) {(x - 4)}^{2})$

Schritt 15.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 4) (x + 3) {(x - 4)}^{2}$

Schritt 16

Multipliziere $x - 4$ mit ${(x - 4)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Bewege ${(x - 4)}^{2}$ .

${(x - 4)}^{2} (x - 4) (x + 3)$

Schritt 16.2

Mutltipliziere ${(x - 4)}^{2}$ mit $x - 4$ .

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Schritt 16.2.1

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

${(x - 4)}^{2} {(x - 4)}^{1} (x + 3)$

Schritt 16.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 4)}^{2 + 1} (x + 3)$

Schritt 16.3

Addiere $2$ und $1$ .

${(x - 4)}^{3} (x + 3)$