Algebra Beispiele

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Schritt 1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Schritt 2

Schreibe $r^{\frac{6}{5}}$ als ${(r^{\frac{2}{5}})}^{3}$ um.

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 64 = 0$

Schritt 3

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = r^{\frac{2}{5}}$ und $b = 4$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $r^{\frac{2}{5}}$ als ${(r^{\frac{1}{5}})}^{2}$ um.

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2^{2}) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r^{\frac{1}{5}}$ und $b = 2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.4

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{2}{5}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2}{5} \cdot 2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.4.2

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot 2$ .

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Schritt 5.4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2 \cdot 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $r^{\frac{2}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Schritt 5.7

Stelle die Terme um.

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6

Vereinfache $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ .

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Schritt 6.1

Multipliziere $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(r^{\frac{1}{5}} (r^{\frac{1}{5}} - 2) + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2$ und $2 r^{\frac{1}{5}}$ neu an.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} - 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 2 r^{\frac{1}{5}}$ und $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 0 + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}}$ und $0$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Multipliziere $r^{\frac{1}{5}}$ mit $r^{\frac{1}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(r^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(r^{\frac{1 + 1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.2.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$(r^{\frac{2}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$r^{\frac{2}{5}} (4 r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere $r^{\frac{2}{5}}$ mit $r^{\frac{2}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.2.1

Bewege $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 (r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 r^{\frac{2}{5} + \frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 r^{\frac{2 + 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.2.4

Addiere $2$ und $2$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.3

Multipliziere $r^{\frac{2}{5}}$ mit $r^{\frac{4}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2 + 4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.4

Bringe $16$ auf die linke Seite von $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 \cdot r^{\frac{2}{5}} - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Schritt 6.4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Schritt 6.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64$ .

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Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $16 r^{\frac{2}{5}}$ von $16 r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 0 - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}}$ und $0$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Schritt 6.4.2.3

Subtrahiere $4 r^{\frac{4}{5}}$ von $4 r^{\frac{4}{5}}$ .

$r^{\frac{6}{5}} + 0 - 64 = 0$

Schritt 6.4.2.4

Addiere $r^{\frac{6}{5}}$ und $0$ .

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Schritt 7

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Schritt 8

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{6}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$r^{1} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache.

$r = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $\pm 64^{\frac{5}{6}}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1.1.1

Schreibe $64$ als $2^{6}$ um.

$r = \pm {(2^{6})}^{\frac{5}{6}}$

Schritt 9.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Schritt 9.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm 2^{5}$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$r = \pm 32$

Schritt 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = 32$

Schritt 10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - 32$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = 32, - 32$