Algebra Beispiele

$x + 2 = 6 {(y - 3)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $6 {(y - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$x + 2 = 0 + 0 + 6 {(y - 3)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$x + 2 = 6 ((y - 3) (y - 3))$

Schritt 1.3

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = 6 (y (y - 3) - 3 (y - 3))$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3))$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x + 2 = 6 (y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.4.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$x + 2 = 6 (y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3)$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x + 2 = 6 (y^{2} - 3 y - 3 y + 9)$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$x + 2 = 6 (y^{2} - 6 y + 9)$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = 6 y^{2} + 6 (- 6 y) + 6 \cdot 9$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $6$ .

$x + 2 = 6 y^{2} - 36 y + 6 \cdot 9$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$x + 2 = 6 y^{2} - 36 y + 54$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6 y^{2} - 36 y + 54 - 2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$x = 6 y^{2} - 36 y + 52$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $6 y^{2} - 36 y + 52$ an.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 6$

$b = - 36$

$c = 52$

Schritt 3.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (6)}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{6}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $6$ .

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot - 3}{6}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{6 \cdot - 3}{6 (1)}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6 \cdot - 3}{6 \cdot 1}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 3.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 52 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Schritt 3.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 52 - \frac{1296}{4 \cdot 6}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$e = 52 - \frac{1296}{24}$

Schritt 3.1.1.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $24$ .

$e = 52 - 1 \cdot 54$

Schritt 3.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$e = 52 - 54$

Schritt 3.1.1.4.2.2

Subtrahiere $54$ von $52$ .

$e = - 2$

Schritt 3.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $6 {(y - 3)}^{2} - 2$ ein.

$6 {(y - 3)}^{2} - 2$

Schritt 3.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = 6 {(y - 3)}^{2} - 2$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 6$

$h = - 2$

$k = 3$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 3)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 6}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{1}{24}$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{47}{24}, 3)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 3$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{49}{24}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{47}{24}, 3)$

Symmetrieachse: $y = 3$

Leitlinie: $x = - \frac{49}{24}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{47}{24}, 3)$

Symmetrieachse: $y = 3$

Leitlinie: $x = - \frac{49}{24}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \frac{\sqrt{6 (x + 2)}}{6} + 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 3.40824829)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{6 ((- 1) + 2)}}{6} + 3$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{6 \cdot 1}}{6} + 3$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{6}}{6} + 3$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $\frac{\sqrt{6}}{6} + 3$ nach Dezimal.

$= 3.40824829$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{6 (x + 2)}}{6} + 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 2.5917517)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{6 ((- 1) + 2)}}{6} + 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 1}}{6} + 3$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- \frac{\sqrt{6}}{6} + 3$ nach Dezimal.

$= 2.5917517$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \frac{\sqrt{6 (x + 2)}}{6} + 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 3.57735026)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 ((0) + 2)}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 2}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{12}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (3)}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (0) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3}}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (\sqrt{3})}{6} + 3$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + 3$

Schritt 4.3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + 3$

Schritt 4.3.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3}}{3} + 3$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $\frac{\sqrt{3}}{3} + 3$ nach Dezimal.

$= 3.57735026$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{6 (x + 2)}}{6} + 3$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 2.42264973)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 ((0) + 2)}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 2}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{12}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.4.2.1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (3)}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (0) = - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3}}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$f (0) = - \frac{2 (\sqrt{3})}{6} + 3$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + 3$

Schritt 4.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} + 3$

Schritt 4.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- \frac{\sqrt{3}}{3} + 3$ nach Dezimal.

$= 2.42264973$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 2.59 \\ 0 & 3.58 \\ 0 & 2.42 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 2, 3)$

Brennpunkt: $(- \frac{47}{24}, 3)$

Symmetrieachse: $y = 3$

Leitlinie: $x = - \frac{49}{24}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 3.41 \\ - 1 & 2.59 \\ 0 & 3.58 \\ 0 & 2.42 \end{array}$

Schritt 6