Algebra Beispiele

${(2 x - \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{2 - k} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{2 - 0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{2 - 1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{2 - 2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x)}^{2}$ mit $1$ .

${(2 x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$2^{2} x^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{0} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 x^{2} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} \cdot (1 \frac{1^{0}}{2^{0}}) + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ mit $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1^{0}}{2^{0}} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} \cdot \frac{1}{1} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.9

Dividiere $1$ durch $1$ .

$4 x^{2} \cdot 1 + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$4 x^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot {(- \frac{1}{2})}^{1} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$4 x^{2} + 4 x \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 x^{2} + 4 x \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.14.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$4 x^{2} + 2 (2 x) \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 2 (2 x) \cdot \frac{- 1}{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.14.4

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(2 x)}^{0}$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(2 x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.17

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$4 x^{2} - 2 x + 2^{0} x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.18

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + x^{0} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.20

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere ${(- \frac{1}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.22

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.22.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.22.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.23

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.25

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.26

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4}$