Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 25} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Schritt 2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 5) (x - 5)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5}{x + 5} - \frac{6}{x}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{x + 5}$ mit $\frac{(x - 5) x}{(x - 5) x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5}{x + 5} \cdot \frac{(x - 5) x}{(x - 5) x} - \frac{6}{x}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{x + 5}$ mit $\frac{(x - 5) x}{(x - 5) x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - \frac{6}{x}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{6}{x}$ mit $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - (\frac{6}{x} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)})$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{6}{x}$ mit $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{(x + 5) ((x - 5) x)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x ((x + 5) (x - 5))}$

Schritt 2.7

Stelle die Faktoren von $(x + 5) ((x - 5) x)$ um.

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x ((x + 5) (x - 5))}$

Schritt 2.8

Stelle die Faktoren von $x ((x + 5) (x - 5))$ um.

$\frac{x \cdot x}{(x + 5) (x - 5) x} + \frac{5 ((x - 5) x)}{x (x + 5) (x - 5)} - \frac{6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x + 5 ((x - 5) x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 ((x - 5) x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 (x \cdot x - 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 (x^{2} - 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} + 5 (- 5 x) - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 ((x + 5) (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6

Multipliziere $(x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.7.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 5$ und $5 x$ neu an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.7.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.7.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 (x^{2} - 25)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} - 6 \cdot - 25}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 25$ .

$\frac{x^{2} + 5 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Addiere $x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} - 25 x - 6 x^{2} + 150$ .

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{- 25 x + 0 + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 25 x$ und $0$ .

$\frac{- 25 x + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25 x + 150$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $25$ aus $- 25 x$ heraus.

$\frac{25 (- x) + 150}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $25$ aus $150$ heraus.

$\frac{25 (- x) + 25 (6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (- x) + 25 (6)$ heraus.

$\frac{25 (- x + 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{25 (- (x) + 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{25 (- (x) - 1 (- 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$\frac{25 (- (x - 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$\frac{25 (- 1 (x - 6))}{x (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25 (x - 6)}{x (x + 5) (x - 5)}$