Algebra Beispiele

$2 \ln (2 x^{2}) = 1$

Schritt 1

Vereinfache $2 \ln (2 x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache $2 \ln (2 x^{2})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(2 x^{2})}^{2}) = 1$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$\ln (2^{2} {(x^{2})}^{2}) = 1$

Schritt 1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4 {(x^{2})}^{2}) = 1$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (4 x^{2 \cdot 2}) = 1$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4 x^{4}) = 1$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (4 x^{4})} = e^{1}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (4 x^{4}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 4 x^{4}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{4} = e^{1}$ um.

$4 x^{4} = e$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{4} = e^{1}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{4} = e^{1}$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache.

$x^{4} = \frac{e}{4}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ als $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Schritt 4.4.2.2

Schreibe $\sqrt[4]{2^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 4.4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 4.4.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.4.5.1.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{2}{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Schritt 4.4.5.1.3

Schreibe $2^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{2^{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Schritt 4.4.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 2^{2}}}{2}$

Schritt 4.4.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$

Schritt 4.4.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.90794307 \dots, - 0.90794307 \dots$