Algebra Beispiele

$\frac{2 a}{a^{2} + 2 a + 1} + \frac{5}{a^{2} + 4 a + 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 a}{a^{2} + 2 a + 1^{2}} + \frac{5}{a^{2} + 4 a + 3}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{5}{a^{2} + 4 a + 3}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{5}{a^{2} + 4 a + 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a^{2} + 4 a + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}} + \frac{5}{(a + 1) (a + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{5}{(a + 1) (a + 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{5}{(a + 1) (a + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} + \frac{5}{(a + 1) (a + 3)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a + 3) {(a + 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 a}{{(a + 1)}^{2}}$ mit $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5}{(a + 1) (a + 3)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{(a + 1) (a + 3)}$ mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5 (a + 1)}{(a + 1) (a + 3) (a + 1)}$

Schritt 4.3

Potenziere $a + 1$ mit $1$ .

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} (a + 1) (a + 3)}$

Schritt 4.4

Potenziere $a + 1$ mit $1$ .

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1} (a + 3)}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{1 + 1} (a + 3)}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 a (a + 3)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)} + \frac{5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 a (a + 3) + 5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a \cdot a + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a \cdot 3 + 5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 (a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 5 \cdot 1}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{2} + 6 a + 5 a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.6

Addiere $6 a$ und $5 a$ .

$\frac{2 a^{2} + 11 a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 6.7.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 a$ heraus.

$\frac{2 a^{2} + 11 (a) + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.1.2

Schreibe $11$ um als $1$ plus $10$

$\frac{2 a^{2} + (1 + 10) a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a^{2} + 1 a + 10 a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{2 a^{2} + a + 10 a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 a^{2} + a) + 10 a + 5}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{a (2 a + 1) + 5 (2 a + 1)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 a + 1$ .

$\frac{(2 a + 1) (a + 5)}{{(a + 1)}^{2} (a + 3)}$