Algebra Beispiele

$\log_{6} (2 x - 5) + 1 = \log_{6} (7 x + 10)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{6} (2 x - 5) - \log_{6} (7 x + 10) = - 1$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{2 x - 5}{7 x + 10}) = - 1$

Schritt 3

Schreibe $\log_{6} (\frac{2 x - 5}{7 x + 10}) = - 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$6^{- 1} = \frac{2 x - 5}{7 x + 10}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 x - 5 = 6^{- 1} (7 x + 10)$

Schritt 5

Vereinfache $6^{- 1} (7 x + 10)$ .

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 5 = \frac{1}{6} (7 x + 10)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 5 = \frac{1}{6} (7 x) + \frac{1}{6} \cdot 10$

Schritt 5.3

Multipliziere $\frac{1}{6} (7 x)$ .

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{6}$ .

$2 x - 5 = \frac{7}{6} x + \frac{1}{6} \cdot 10$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{7}{6}$ und $x$ .

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{6} \cdot 10$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot 10$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 5)$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 5)$

Schritt 5.4.4

Forme den Ausdruck um.

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{1}{3} \cdot 5$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$2 x - 5 = \frac{7 x}{6} + \frac{5}{3}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\frac{7 x}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 5 - \frac{7 x}{6} = \frac{5}{3}$

Schritt 6.2

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 x \cdot \frac{6}{6} - \frac{7 x}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.3

Kombiniere $2 x$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 x \cdot 6}{6} - \frac{7 x}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x \cdot 6 - 7 x}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cdot 6 - 7 x$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 6) - 7 x}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 6) + x \cdot - 7}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 \cdot 6) + x \cdot - 7$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 6 - 7)}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{x (12 - 7)}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5.1.3

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$\frac{x \cdot 5}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 6.5.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 x}{6} - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 7

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{6} - 5$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $5$ aus $\frac{5 x}{6}$ heraus.

$5 (\frac{x}{6}) - 5 = \frac{5}{3}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (\frac{x}{6}) + 5 (- 1) = \frac{5}{3}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $5$ aus $5 \frac{x}{6} + 5 (- 1)$ heraus.

$5 (\frac{x}{6} - 1) = \frac{5}{3}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $5 (\frac{x}{6} - 1) = \frac{5}{3}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (\frac{x}{6} - 1) = \frac{5}{3}$ durch $5$ .

$\frac{5 (\frac{x}{6} - 1)}{5} = \frac{\frac{5}{3}}{5}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (\frac{x}{6} - 1)}{5} = \frac{\frac{5}{3}}{5}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $\frac{x}{6} - 1$ durch $1$ .

$\frac{x}{6} - 1 = \frac{\frac{5}{3}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x}{6} - 1 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{6} - 1 = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{6} - 1 = \frac{1}{3}$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{6} = \frac{1}{3} + 1$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{6} = \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{6} = \frac{1 + 3}{3}$

Schritt 9.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$

Schritt 10

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 (\frac{4}{3})$

Schritt 11

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 11.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 11.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{x}{6} = 6 (\frac{4}{3})$

Schritt 11.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 (\frac{4}{3})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache $6 (\frac{4}{3})$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = 3 (2) \frac{4}{3}$

Schritt 11.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \cdot 2 \frac{4}{3}$

Schritt 11.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot 4$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = 8$