Algebra Beispiele

$x^{9} + y^{9}$

Schritt 1

Schreibe $x^{9}$ als ${(x^{3})}^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} + y^{9}$

Schritt 2

Schreibe $y^{9}$ als ${(y^{3})}^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} + {(y^{3})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x^{3}$ und $b = y^{3}$ .

$(x^{3} + y^{3}) ({(x^{3})}^{2} - x^{3} y^{3} + {(y^{3})}^{2})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) ({(x^{3})}^{2} - x^{3} y^{3} + {(y^{3})}^{2})$

Schritt 5

Faktorisiere $- 1$ aus ${(x^{3})}^{2} - x^{3} y^{3} + {(y^{3})}^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(x^{3})}^{2}$ heraus.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- 1 (- {(x^{3})}^{2}) - x^{3} y^{3} + {(y^{3})}^{2})$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3} y^{3}$ heraus.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- 1 (- {(x^{3})}^{2}) - (x^{3} y^{3}) + {(y^{3})}^{2})$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus ${(y^{3})}^{2}$ heraus.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- 1 (- {(x^{3})}^{2}) - (x^{3} y^{3}) - 1 (- {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- {(x^{3})}^{2}) - (x^{3} y^{3})$ heraus.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- 1 (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3}) - 1 (- {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3}) - 1 (- {(y^{3})}^{2})$ heraus.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- 1 (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2})$ als $- (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2})$ um.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (- {(x^{3})}^{2} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (- x^{3 \cdot 2} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (- x^{6} + x^{3} y^{3} - {(y^{3})}^{2}))$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{3 \cdot 2}))$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{6}))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot - 1 (- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{6})$

Schritt 8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- ((x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{6}))$

Schritt 9

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{6})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{6} + x^{3} y^{3} - y^{6}$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{6}$ heraus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (x^{6}) + x^{3} y^{3} - y^{6})$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{3} y^{3}$ heraus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (x^{6}) - (- x^{3} y^{3}) - y^{6})$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{6}$ heraus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (x^{6}) - (- x^{3} y^{3}) - (y^{6}))$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{6}) - (- x^{3} y^{3})$ heraus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (x^{6} - x^{3} y^{3}) - (y^{6}))$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{6} - x^{3} y^{3}) - (y^{6})$ heraus.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (- (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6}))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot - 1 (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6})$

Schritt 11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (((x + y) (x^{2} - x y + y^{2})) \cdot - 1 (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6}))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (((x + y) (x^{2} - x y + y^{2})) (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6}))$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6}))$

Schritt 12

Entferne unnötige Klammern.

$(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (x^{6} - x^{3} y^{3} + y^{6})$