Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 36} + \frac{2}{x - 6} = \frac{1}{x + 6}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{x + 6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{x^{2} - 36} + \frac{2}{x - 6} - \frac{1}{x + 6} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x^{2} - 36} + \frac{2}{x - 6} - \frac{1}{x + 6}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 6^{2}} + \frac{2}{x - 6} - \frac{1}{x + 6} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2}{x - 6} - \frac{1}{x + 6} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 6}$ mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{1}{x + 6} = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 6}$ mit $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{1}{x + 6} = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 6}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - (\frac{1}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}) = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 6}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{x - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.2.5

Stelle die Faktoren von $(x - 6) (x + 6)$ um.

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{2 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{x - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 2 (x + 6) - (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 6 - (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{x + 2 x + 12 - (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 12 - x - - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{x + 2 x + 12 - x + 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 x + 12 - x + 6$ .

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{2 x + 12 + 0 + 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2 x + 12$ und $0$ .

$\frac{2 x + 12 + 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.6

Addiere $12$ und $6$ .

$\frac{2 x + 18}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 18$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 18}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 9}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 9$ heraus.

$\frac{2 (x + 9)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + 9) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + 9) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + 9) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$