Algebra Beispiele

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{3 + i}{2 - i}$ mit der Konjugierten von $2 - i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombinieren.

$\frac{(3 + i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Multipliziere $(3 + i) (2 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 + i) + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 + 3 i + i \cdot 2 + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 \cdot i + i i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere $i i$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 + 3 i + 2 i + i^{2}}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{6 + 3 i + 2 i - 1}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{5 + 3 i + 2 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $3 i$ und $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{(2 - i) (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(2 - i) (2 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 + 5 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i i} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.7

Subtrahiere $2 i$ von $2 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 - i^{2}} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{5 + 5 i}{4 - - 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{4 + 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 2.3.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 + 5 i$ und $5$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 i}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 i$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (i)$ heraus.

$\frac{5 (1 + i)}{5} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1 + i)}{5 (1)} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (1 + i)}{5 \cdot 1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + i}{1} \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 3.4.4

Dividiere $1 + i$ durch $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{4 + i}{2 + i}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{4 + i}{2 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $2 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$(1 + i) \cdot (\frac{4 + i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i})$

Schritt 5

Multipliziere.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$(1 + i) \cdot \frac{(4 + i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $(4 + i) (2 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{4 (2 - i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{4 \cdot 2 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 + 4 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 \cdot i + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.4

Multipliziere $i (- i)$ .

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i - - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{8 - 4 i + 2 i + 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 4 i + 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 4 i$ und $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $(2 + 1 i) (2 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Schritt 5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Schritt 5.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Schritt 5.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Schritt 5.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 5.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Schritt 5.3.2.9

Addiere $- 2 i$ und $2 i$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Schritt 5.3.2.10

Addiere $4$ und $0$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - i^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 - - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{4 + 1}$

Schritt 5.3.4

Addiere $4$ und $1$ .

$(1 + i) \cdot \frac{9 - 2 i}{5}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{9 - 2 i}{5}$ in zwei Brüche.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} + \frac{- 2 i}{5})$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(1 + i) \cdot (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Schritt 8

Multipliziere $(1 + i) (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i (\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5})$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (\frac{9}{5}) + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Schritt 9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{9}{5}$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} + 1 (- \frac{2 i}{5}) + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- \frac{2 i}{5}$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + i \frac{9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Schritt 9.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 9}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Schritt 9.1.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + i (- \frac{2 i}{5})$

Schritt 9.1.5

Multipliziere $i (- \frac{2 i}{5})$ .

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Schritt 9.1.5.1

Kombiniere $i$ und $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{i (2 i)}{5}$

Schritt 9.1.5.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i)}{5}$

Schritt 9.1.5.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 (i^{1} i^{1})}{5}$

Schritt 9.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{1 + 1}}{5}$

Schritt 9.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 i^{2}}{5}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - \frac{- 2}{5}$

Schritt 9.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} - - \frac{2}{5}$

Schritt 9.1.9

Multipliziere $- - \frac{2}{5}$ .

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Schritt 9.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + 1 (\frac{2}{5})$

Schritt 9.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5} + \frac{2}{5}$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 + 2}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Schritt 9.3

Addiere $9$ und $2$ .

$\frac{11}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{9 i}{5}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11}{5} + \frac{7 i}{5}$