Algebra Beispiele

${(2 x^{2} + y^{2})}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - k} \cdot {(y^{2})}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(y^{2})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(y^{2})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(y^{2})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(y^{2})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(2 x^{2})}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(2 x^{2})}^{4}$ mit $1$ .

${(2 x^{2})}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$2^{4} {(x^{2})}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 {(x^{2})}^{4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{2 \cdot 4} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 x^{8} \cdot {(y^{2})}^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} \cdot y^{2 \cdot 0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$16 x^{8} \cdot y^{0} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 x^{8} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{3} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$16 x^{8} + 4 \cdot (2^{3} {(x^{2})}^{3}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 x^{8} + 4 \cdot (8 {(x^{2})}^{3}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.10

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 4 \cdot (8 x^{2 \cdot 3}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$16 x^{8} + 4 \cdot (8 x^{6}) \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} \cdot {(y^{2})}^{1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} \cdot y^{2 \cdot 1} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} \cdot y^{2} + 6 \cdot {(2 x^{2})}^{2} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.13

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 6 \cdot (2^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 6 \cdot (4 {(x^{2})}^{2}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.15

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 6 \cdot (4 x^{2 \cdot 2}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 6 \cdot (4 x^{4}) \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} \cdot {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.17

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} \cdot y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} \cdot y^{4} + 4 \cdot {(2 x^{2})}^{1} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.18

Vereinfache.

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 4 \cdot (2 x^{2}) \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} \cdot {(y^{2})}^{3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.20

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.20.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} \cdot y^{2 \cdot 3} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.20.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} \cdot y^{6} + 1 \cdot {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere ${(2 x^{2})}^{0}$ mit $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + {(2 x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.22

Wende die Produktregel auf $2 x^{2}$ an.

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + 2^{0} {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.23

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + 1 {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{0}$ mit $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.25

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.25.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.25.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + x^{0} \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + 1 \cdot {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(y^{2})}^{4}$ mit $1$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + {(y^{2})}^{4}$

Schritt 4.28

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.28.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + y^{2 \cdot 4}$

Schritt 4.28.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 x^{8} + 32 x^{6} y^{2} + 24 x^{4} y^{4} + 8 x^{2} y^{6} + y^{8}$