Algebra Beispiele

$\frac{x}{25 - x^{2}} + \frac{2}{3 x - 15}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x}{5^{2} - x^{2}} + \frac{2}{3 x - 15}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 x - 15}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 15$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 (x) - 15}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 x + 3 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 (x - 5)}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 (- 1 (- x) - 5)}$

Schritt 2.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 (- 1 (- x) - 1 (5))}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{2}{3 (- 1 (- x + 5))}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{2}{3 (- 1 (- x + 5))}$ zum Zähler.

$\frac{x}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{(5 + x) (- x + 5)} + \frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{(5 + x) (- x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{(5 + x) (- x + 5)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)}$

Schritt 4

Um $\frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$\frac{x}{(5 + x) (- x + 5)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)} \cdot \frac{5 + x}{5 + x}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(5 + x) (- x + 5) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(5 + x) (- x + 5)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x \cdot 3}{(5 + x) (- x + 5) \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)} \cdot \frac{5 + x}{5 + x}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{- 1 \cdot 2}{3 (- x + 5)}$ mit $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$\frac{x \cdot 3}{(5 + x) (- x + 5) \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 2 (5 + x)}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(5 + x) (- x + 5) \cdot 3$ um.

$\frac{x \cdot 3}{3 (- x + 5) (5 + x)} + \frac{- 1 \cdot 2 (5 + x)}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 3 - 1 \cdot 2 (5 + x)}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x - 1 \cdot 2 (5 + x)}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x - 2 (5 + x)}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - 2 \cdot 5 - 2 x}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{3 x - 10 - 2 x}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$\frac{x - 10}{3 (- x + 5) (5 + x)}$

Schritt 8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x - 10}{3 (- (x) + 5) (5 + x)}$

Schritt 8.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{x - 10}{3 (- (x) - 1 (- 5)) (5 + x)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{x - 10}{3 (- (x - 5)) (5 + x)}$

Schritt 8.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.4.1

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$\frac{x - 10}{3 (- 1 (x - 5)) (5 + x)}$

Schritt 8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 10}{(3 (x - 5)) (5 + x)}$

Schritt 8.4.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{x - 10}{(3 (x - 5)) (5 + x)}$ um.

$- \frac{x - 10}{3 (x - 5) (5 + x)}$