Algebra Beispiele

$x^{9} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{9}$ als ${(x^{3})}^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} - 1$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(x^{3})}^{3} - 1^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{3}$ und $b = 1$ .

$(x^{3} - 1) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x^{3} - 1^{3}) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{3})}^{2} + x^{3} + 1^{2})$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3 \cdot 2} + x^{3} + 1^{2})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} + x^{3} + 1^{2})$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} + x^{3} + 1)$