Algebra Beispiele

$x^{\frac{3}{4}} = 27$

Schritt 1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{3}{4}} - 27 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{\frac{3}{4}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 27 = 0$

Schritt 3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{4}}$ und $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} + 9) = 0$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$(x^{\frac{1}{4}} - 3) (3 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 9) = 0$

Schritt 6

Vereinfache $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (3 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 9)$ .

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (3 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 9)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{\frac{1}{4}} (3 x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 6.2.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 9 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 3 (3 x^{\frac{1}{4}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 9 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 9 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 27 = 0$

Schritt 6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 9 x^{\frac{1}{4}} - 9 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 27$ .

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $9 x^{\frac{1}{4}}$ von $9 x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} + 0 - 3 x^{\frac{1}{2}} - 27 = 0$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{4}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 27 = 0$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ von $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} + 0 - 27 = 0$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $x^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} - 27 = 0$

Schritt 7

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{3}{4}} = 27$

Schritt 8

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache.

$x = 27^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $27^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1.1.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x = {(3^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 9.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 9.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3^{4}$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x = 81$