Algebra Beispiele

$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} = \frac{16}{x^{2} + 4 x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}{(x + 4) (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x}{x + 4} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 4}$ mit $\frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 4}$ mit $\frac{x (x^{2} + 4 x)}{x (x^{2} + 4 x)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16}{x^{2} + 4 x} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ mit $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - (\frac{16}{x^{2} + 4 x} \cdot \frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}) = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{16}{x^{2} + 4 x}$ mit $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x + 4) (x^{2} + 4 x))$ um.

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (x (x^{2} + 4 x))$ um.

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} - \frac{16 (x (x + 4))}{(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))} = 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + 4 x) (x (x + 4))$ um.

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} + \frac{x (x (x^{2} + 4 x))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} - \frac{16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 ((x + 4) (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(x + 4) (x^{2} + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x (x^{2} + 4 x) + 4 (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x \cdot x^{2} + x (4 x) + 4 (x^{2} + 4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x \cdot x^{2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 (x^{1} x^{2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 (x^{1 + 2} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5 (x^{3} + x (4 x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 (x^{3} + 4 x \cdot x + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 (x \cdot x) + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (4 x)) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{5 (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{3} + 8 x^{2} + 16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{3} + 5 (8 x^{2}) + 5 (16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 5 (16 x) + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x (x (x^{2} + 4 x)) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x \cdot x (x^{2} + 4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2} (x^{2} + 4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.7.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + x^{2} (4 x) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{2} x - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.9.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{1 + 2} - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x (x + 4))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x \cdot x + x \cdot 4)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x^{2} + x \cdot 4)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 (x^{2} + 4 \cdot x)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 x^{2} - 16 (4 x)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.3.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$\frac{5 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} + 4 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.4

Addiere $5 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$\frac{9 x^{3} + 40 x^{2} + 80 x + x^{4} - 16 x^{2} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $40 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 24 x^{2} + 80 x + x^{4} - 64 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $64 x$ von $80 x$ .

$\frac{9 x^{3} + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3} + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + 24 x^{2} + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x^{4} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x \cdot x^{3} + 16 x}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.4

Faktorisiere $x$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2}) + x (24 x) + x \cdot x^{3} + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{2}) + x (24 x)$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x) + x \cdot x^{3} + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{2} + 24 x) + x \cdot x^{3}$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x + x^{3}) + x \cdot 16}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x^{2} + 24 x + x^{3}) + x \cdot 16$ heraus.

$\frac{x (9 x^{2} + 24 x + x^{3} + 16)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x (x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16)}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.3

Schreibe $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.7.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.7.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 2.7.3.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.7.3.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 24 \cdot - 1 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 + 24 \cdot - 1 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 1 + 9 + 24 \cdot - 1 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.5

Addiere $- 1$ und $9$ .

$8 + 24 \cdot - 1 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$8 - 24 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.7

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16 + 16$

Schritt 2.7.3.1.3.8

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 2.7.3.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16}{x + 1}$

Schritt 2.7.3.1.5

Dividiere $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.7.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Schritt 2.7.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$

Schritt 2.7.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.7.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.7.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Schritt 2.7.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.7.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.7.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.7.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.7.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Schritt 2.7.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.7.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.7.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	+	$16$

Schritt 2.7.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x + 16$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$

Schritt 2.7.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	-	$16$
										$0$

Schritt 2.7.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 8 x + 16$

Schritt 2.7.3.1.6

Schreibe $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 16$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 8 x + 16))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.7.3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2}))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.7.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x ((x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.7.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x^{2} + 4 x)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x \cdot x + 4 x)} = 0$

Schritt 2.8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x \cdot x + x \cdot 4)} = 0$

Schritt 2.8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) (x (x + 4))} = 0$

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x (x + 4) x (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1} x (x + 4) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1} x^{1} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{1 + 1} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} (x + 4) (x + 4)} = 0$

Schritt 2.8.2.5

Potenziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} ({(x + 4)}^{1} (x + 4))} = 0$

Schritt 2.8.2.6

Potenziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})} = 0$

Schritt 2.8.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} {(x + 4)}^{1 + 1}} = 0$

Schritt 2.8.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x^{2} {(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 1) {(x + 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x^{2} {(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} {(x + 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x {(x + 4)}^{2})} = 0$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x + 1) {(x + 4)}^{2})}{x (x {(x + 4)}^{2})} = 0$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x {(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) {(x + 4)}^{2}}{x {(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$