Algebra Beispiele

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{54}{x} = 11$

Schritt 1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{54}{x} - 11 = 0$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- \frac{54}{x} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 3

Um $- \frac{54}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{54}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{54}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{54 x}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{54 x}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{54 x}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{54 x}{x^{1 + 1}} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{54 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 54 x + 5}{x^{2}} - 11 = 0$

Schritt 6

Um $- 11$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 54 x + 5}{x^{2}} - 11 \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 7

Kombiniere $- 11$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 54 x + 5}{x^{2}} + \frac{- 11 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 54 x + 5 - 11 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 11 x^{2} - 54 x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 11 \cdot 5 = - 55$ und deren Summe gleich $b = - 54$ ist.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- 54$ aus $- 54 x$ heraus.

$\frac{- 11 x^{2} - 54 x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.2.2

Schreibe $- 54$ um als $1$ plus $- 55$

$\frac{- 11 x^{2} + (1 - 55) x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 11 x^{2} + 1 x - 55 x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 11 x^{2} + x - 55 x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 11 x^{2} + x) - 55 x + 5}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 11 x + 1) + 5 (- 11 x + 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 11 x + 1$ .

$\frac{(- 11 x + 1) (x + 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$(- 11 x + 1) (x + 5) = 0$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 11 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 11.2

Setze $- 11 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze $- 11 x + 1$ gleich $0$ .

$- 11 x + 1 = 0$

Schritt 11.2.2

Löse $- 11 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 11 x = - 1$

Schritt 11.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 11 x = - 1$ durch $- 11$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 11 x = - 1$ durch $- 11$ .

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{- 1}{- 11}$

Schritt 11.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 11$ .

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Schritt 11.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{- 1}{- 11}$

Schritt 11.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 11}$

Schritt 11.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{11}$

Schritt 11.3

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 11.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 11.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 11 x + 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{11}, - 5$