Algebra Beispiele

$\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{8} x^{3}$ als ${(\frac{1}{2} x)}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - \frac{1}{27} y^{3}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{27} y^{3}$ als ${(\frac{1}{3} y)}^{3}$ um.

${(\frac{1}{2} x)}^{3} - {(\frac{1}{3} y)}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = \frac{1}{2} x$ und $b = \frac{1}{3} y$ .

$(\frac{1}{2} x - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} - (\frac{1}{3} y)) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) ({(\frac{x}{2})}^{2} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} x (\frac{1}{3} y) + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.7

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{6} x y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{6} y + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{x}{6}$ und $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{1}{3} y)}^{2})$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + {(\frac{y}{3})}^{2})$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{3}$ an.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{3^{2}})$

Schritt 4.12

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{x y}{6} + \frac{y^{2}}{9})$

Schritt 4.13

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.1

Faktorisiere $\frac{1}{36}$ aus jedem Term raus.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) (\frac{1}{36} (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2}))$

Schritt 4.13.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) \frac{1}{36} (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2})$