Algebra Beispiele

$x = \sqrt{8 x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{8 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - \sqrt{8 x} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 x$ als $2^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x - \sqrt{4 (2) x} = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} = 0$

Schritt 2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$x - \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} = 0$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - (2 \sqrt{2 x}) = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x - 2 \sqrt{2 x} = 0$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$x - 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 5

Entferne die Klammern.

$x - 2 \cdot (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Schritt 6

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$x - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

$x - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.6

Addiere $2$ und $1$ .

$x - 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x - 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{3}{2}}) = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 9

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 9.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $2^{\frac{3}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.1

Vereinfache ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Schritt 10.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Schritt 10.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{3}$

Schritt 10.2.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = 8$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$