Algebra Beispiele

$\frac{3 - 3 \sqrt{3 a}}{4 \sqrt{8 a}}$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $3 - 3 \sqrt{3 a}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1) - 3 \sqrt{3 a}}{4 \sqrt{8 a}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sqrt{3 a}$ heraus.

$\frac{3 (1) + 3 (- \sqrt{3 a})}{4 \sqrt{8 a}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \sqrt{3 a})$ heraus.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{4 \sqrt{8 a}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 a$ als $2^{2} \cdot (2 a)$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{4 \sqrt{4 (2) a}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2 a}}$

Schritt 2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{4 \sqrt{2^{2} \cdot (2 a)}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{4 \cdot 2 \sqrt{2 a}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{8 \sqrt{2 a}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{8 \sqrt{2 a}}$ mit $\frac{\sqrt{2 a}}{\sqrt{2 a}}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{8 \sqrt{2 a}} \cdot \frac{\sqrt{2 a}}{\sqrt{2 a}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $\frac{3 (1 - \sqrt{3 a})}{8 \sqrt{2 a}}$ mit $\frac{\sqrt{2 a}}{\sqrt{2 a}}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 \sqrt{2 a} \sqrt{2 a}}$

Schritt 4.1.2

Bewege $\sqrt{2 a}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 (\sqrt{2 a} \sqrt{2 a})}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $\sqrt{2 a}$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 ({\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a})}$

Schritt 4.1.4

Potenziere $\sqrt{2 a}$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 ({\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1})}$

Schritt 4.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {\sqrt{2 a}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {\sqrt{2 a}}^{2}}$

Schritt 4.1.7

Schreibe ${\sqrt{2 a}}^{2}$ als $2 a$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a}$ als ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {(2 a)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {(2 a)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 {(2 a)}^{1}}$

Schritt 4.1.7.5

Vereinfache.

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{8 (2 a)}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{3 a}) \sqrt{2 a}}{16 a}$

Schritt 4.2.1.2

Gruppiere $\sqrt{2 a}$ und $1 - \sqrt{3 a}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} (1 - \sqrt{3 a}))}{16 a}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} \cdot 1 + \sqrt{2 a} (- \sqrt{3 a}))}{16 a}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\sqrt{2 a}$ mit $1$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} (- \sqrt{3 a}))}{16 a}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} \sqrt{3 a})}{16 a}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $- \sqrt{2 a} \sqrt{3 a}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{3 a (2 a)})}{16 a}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{6 a \cdot a})}{16 a}$

Schritt 4.3.1.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{6 (a^{1} a)})}{16 a}$

Schritt 4.3.1.4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{6 (a^{1} a^{1})})}{16 a}$

Schritt 4.3.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{6 a^{1 + 1}})}{16 a}$

Schritt 4.3.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{6 a^{2}})}{16 a}$

Schritt 4.3.2

Stelle $6$ und $a^{2}$ um.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - \sqrt{a^{2} \cdot 6})}{16 a}$

Schritt 4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 (\sqrt{2 a} - a \sqrt{6})}{16 a}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a}$ als ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 ({(2 a)}^{\frac{1}{2}} - a \sqrt{6})}{16 a}$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 ({(2 a)}^{\frac{1}{2}} - a \cdot 6^{\frac{1}{2}})}{16 a}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} - a \cdot 6^{\frac{1}{2}})}{16 a}$

Schritt 5.4

Schreibe $2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} - a \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $a^{\frac{1}{2}}$ aus $2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} - a \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a)}{16 a}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $a^{\frac{1}{2}}$ aus $2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (a^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a)}{16 a}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $a^{\frac{1}{2}}$ aus $- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a$ heraus.

$\frac{3 (a^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}{16 a}$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere $a^{\frac{1}{2}}$ aus $a^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{3 (a^{\frac{1}{2}} (2^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}{16 a}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $- 1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ als $- 6^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{3 (a^{\frac{1}{2}} (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}{16 a}$

$\frac{3 a^{\frac{1}{2}} (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a}$

Schritt 6

Bringe $a^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Multipliziere $a$ mit $a^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $a^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 (a^{- \frac{1}{2}} a)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $a^{- \frac{1}{2}}$ mit $a$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1})}$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Schritt 7.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{3 (2^{\frac{1}{2}} - 6^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}{16 a^{\frac{1}{2}}}$