Algebra Beispiele

$8 < x (7 - x)$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x (7 - x) > 8$

Schritt 2

Vereinfache $x (7 - x)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

Schritt 2.1.2

Stelle um.

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Schritt 2.1.2.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x$ .

$7 x - (x \cdot x) > 8$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$7 x - x^{2} > 8$

Schritt 3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 7$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $32$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 < (0) (7 - (0))$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 < (4) (7 - (4))$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $8$ ist kleiner als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 < (8) (7 - (8))$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Falsch

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Wahr

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Falsch

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Falsch

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Wahr

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{7 - \sqrt{17}}{2}, \frac{7 + \sqrt{17}}{2})$

Schritt 13