Algebra Beispiele

$64 x^{6} - y^{6}$

Schritt 1

Schreibe $64 x^{6}$ als ${(4 x^{2})}^{3}$ um.

${(4 x^{2})}^{3} - y^{6}$

Schritt 2

Schreibe $y^{6}$ als ${(y^{2})}^{3}$ um.

${(4 x^{2})}^{3} - {(y^{2})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 x^{2}$ und $b = y^{2}$ .

$(4 x^{2} - y^{2}) ({(4 x^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - y^{2}) ({(4 x^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = y$ .

$(2 x + y) (2 x - y) ({(4 x^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $4 x^{2}$ an.

$(2 x + y) (2 x - y) (4^{2} {(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(2 x + y) (2 x - y) (16 {(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{2 \cdot 2} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + y^{2 \cdot 2})$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + y^{4})$

Schritt 4.7

Faktorisiere.

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Schritt 4.7.1

Schreibe $16 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + y^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.7.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{4} + 2 (4 x^{2}) y^{2} - 4 x^{2} y^{2} + y^{4})$

Schritt 4.7.1.2

Ordne Terme um.

$(2 x + y) (2 x - y) (16 x^{4} + 2 (4 x^{2}) y^{2} + y^{4} - 4 x^{2} y^{2})$

Schritt 4.7.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(2 x + y) (2 x - y) ({(4 x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2})$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe $4 x^{2} y^{2}$ als ${(2 x y)}^{2}$ um.

$(2 x + y) (2 x - y) ({(4 x^{2} + y^{2})}^{2} - {(2 x y)}^{2})$

Schritt 4.7.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x^{2} + y^{2}$ und $b = 2 x y$ .

$(2 x + y) (2 x - y) ((4 x^{2} + y^{2} + 2 x y) (4 x^{2} + y^{2} - (2 x y)))$

Schritt 4.7.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.7.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 x + y) (2 x - y) ((4 x^{2} + y^{2} + 2 x y) (4 x^{2} + y^{2} - 2 (x y)))$

Schritt 4.7.1.6.2

Entferne die Klammern.

$(2 x + y) (2 x - y) ((4 x^{2} + y^{2} + 2 x y) (4 x^{2} + y^{2} - 2 x y))$

Schritt 4.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + y) (2 x - y) (4 x^{2} + y^{2} + 2 x y) (4 x^{2} + y^{2} - 2 x y)$