Algebra Beispiele

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 9 x - 27$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 9 x = - 27$

Schritt 1.2

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 9 x + 27 = 0$

Schritt 2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{3} - 12 x^{2}) - 9 x + 27 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x^{2} (x - 3) - 9 (x - 3) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (4 x^{2} - 9) = 0$

Schritt 4

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$(x - 3) ({(2 x)}^{2} - 9) = 0$

Schritt 5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 3) ({(2 x)}^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) ((2 x + 3) (2 x - 3)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 8

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 9

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 9.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 10

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (2 x + 3) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}$