Algebra Beispiele

$x^{4} + 5 x^{2} = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} + 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} + 5 u - 6 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} + 5 u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 6) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 9

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 6$ gleich $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$