Algebra Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{4}$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{4}}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.2.3.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{16})}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{16}}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{- 2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - (\frac{1}{16} (- \frac{1}{2}))$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Multipliziere $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - - \frac{1}{16 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$e = 0 - - \frac{1}{32}$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Multipliziere $- - \frac{1}{32}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{32})$

Schritt 1.2.4.2.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{32}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{32}$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{32}$ .

$e = \frac{1}{32}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{32}$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{32}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{1}{32}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = \frac{1}{32}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{1}{32})$

Schritt 4