Algebra Beispiele

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x - 1}{x + 1}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

Schritt 3.1.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.1.3.1

Schreibe $- 5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

Schritt 3.1.6

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

Schritt 3.1.7

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

Schritt 3.1.8

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x - 6$ heraus.

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

Schritt 3.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

Schritt 3.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

Schritt 3.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

Schritt 3.1.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (3)$ heraus.

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

Schritt 3.1.12

Schreibe $- (2 x + 3)$ als $- 1 (2 x + 3)$ um.

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

Schritt 3.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x + 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$1, x + 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ mit $x + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ mit $x + 1$ .

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ in den Zähler.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

Schritt 3.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

Schritt 3.3.3.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

Schritt 3.3.3.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 5 x = - 6$

Schritt 3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Schritt 3.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.4.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.4.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$