Algebra Beispiele

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} = 48$

Schritt 1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 48$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}}) - 48 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 48$ heraus.

$3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot - 16$ heraus.

$3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}} - 16) = 0$

Schritt 3

Schreibe ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Schritt 4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$3 ({({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ und $b = 4$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} - 4)) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4)) = 0$

Schritt 6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = 2$ .

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) (({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2))) = 0$

Schritt 6.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 8

Setze ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3}} = - 4$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 1 = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Schritt 8.2.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 1 = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.2.4.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Schritt 8.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1$

Schritt 9

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Schritt 9.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = {(- 2)}^{3}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$x + 1 = - 8$

Schritt 9.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8 - 1$

Schritt 9.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$x = - 9$

Schritt 10

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 10.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 10.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = 2^{3}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x + 1 = 8$

Schritt 10.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8 - 1$

Schritt 10.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$x = 7$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 1, - 9, 7$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ nicht erfüllen.

$x = - 9, 7$