Algebra Beispiele

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} = - 2$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} + 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 2} + 2$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{15}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{15}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{15}{x - 2} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{15}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{15}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + 2 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{x}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{15}{x - 2}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15 x}{(x - 2) x} + 2 = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) x$ um.

$\frac{15 (x - 2)}{x (x - 2)} - \frac{15 x}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 (x - 2) - 15 x}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 (x - 2) - 15 x$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1.1

Faktorisiere $15$ aus $- 15 x$ heraus.

$\frac{15 (x - 2) + 15 (- x)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5.1.1.2

Faktorisiere $15$ aus $15 (x - 2) + 15 (- x)$ heraus.

$\frac{15 (x - 2 - x)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{15 (0 - 2)}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{15 \cdot - 2}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 2$ .

$\frac{- 30}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{30}{x (x - 2)} + 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{30}{x (x - 2)} + 2$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{30}{x (x - 2)}$ heraus.

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 (1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{15}{x (x - 2)}) + 2 (1)$ heraus.

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)} + 1) = 0$

Schritt 4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (- \frac{15}{x (x - 2)} + \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{- 15 + x (x - 2)}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{- 15 + x \cdot x + x \cdot - 2}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 (\frac{- 15 + x^{2} + x \cdot - 2}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 6.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (\frac{- 15 + x^{2} - 2 x}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$2 (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)}) = 0$

Schritt 7

Kombiniere $2$ und $\frac{(x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 5) (x + 3)}{x (x - 2)} = 0$

Schritt 8

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x - 5) (x + 3) = 0$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 9.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 9.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 5) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 3$