Algebra Beispiele

$\frac{y + 3}{y^{2} + 7 y + 12} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y^{2} + 7 y + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{y + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Schritt 3

Um $- \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y + 4) (y + 3) (y - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y + 4}$ mit $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ mit $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(y + 4) ((y + 3) (y - 3))$ um.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(y + 3) (y - 3) (y + 4)$ um.

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(y + 3) (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(y + 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y - 3) + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 6.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y \cdot - 3$ und $3 y$ neu an.

$\frac{y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3 y$ und $3 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.2.3

Addiere $y \cdot y$ und $0$ .

$\frac{y \cdot y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 5 \cdot 4}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 20}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $20$ von $- 9$ .

$\frac{y^{2} - 5 y - 29}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$