Algebra Beispiele

$x^{16} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{16}$ als ${(x^{8})}^{2}$ um.

${(x^{8})}^{2} - 1$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(x^{8})}^{2} - 1^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{8}$ und $b = 1$ .

$(x^{8} + 1) (x^{8} - 1)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$(x^{8} + 1) ({(x^{4})}^{2} - 1)$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{8} + 1) ({(x^{4})}^{2} - 1^{2})$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{4}$ und $b = 1$ .

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) (x^{4} - 1))$

Schritt 4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ({(x^{2})}^{2} - 1))$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}))$

Schritt 4.4.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)))$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1.4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})))$

Schritt 4.4.1.4.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1.4.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))))$

Schritt 4.4.1.4.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Schritt 4.4.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{8} + 1) ((x^{4} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))$

Schritt 4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{8} + 1) (x^{4} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$