Algebra Beispiele

$x^{- 2} + 7 x^{- 1} + 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{- 2} + 7 x^{- 1} + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{- 1} + 3) (x^{- 1} + 4) = 0$

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 3) (x^{- 1} + 4) = 0$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} + 3) (\frac{1}{x} + 4) = 0$

Schritt 4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}) (\frac{1}{x} + 4) = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + 4) = 0$

Schritt 6

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{4 x}{x}) = 0$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 x}{x} \cdot \frac{1 + 4 x}{x} = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} = 0$

$\frac{1 + 4 x}{x} = 0$

Schritt 9

Setze $\frac{1 + 3 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $\frac{1 + 3 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 3 x}{x} = 0$

Schritt 9.2

Löse $\frac{1 + 3 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 3 x = 0$

Schritt 9.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 9.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 9.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 9.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 9.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 10

Setze $\frac{1 + 4 x}{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $\frac{1 + 4 x}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{1 + 4 x}{x} = 0$

Schritt 10.2

Löse $\frac{1 + 4 x}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 + 4 x = 0$

Schritt 10.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 10.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 10.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\frac{1 + 3 x}{x} \cdot \frac{1 + 4 x}{x} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{1}{4}$