Algebra Beispiele

$\frac{9 x^{4} - 72 x}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{4} - 72 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$\frac{9 x (x^{3}) - 72 x}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $9 x$ aus $- 72 x$ heraus.

$\frac{9 x (x^{3}) + 9 x (- 8)}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{3}) + 9 x (- 8)$ heraus.

$\frac{9 x (x^{3} - 8)}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{9 x (x^{3} - 2^{3})}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{9 x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{9 x ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2}))}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 x^{2} - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 12$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x^{2}) - 12} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 4} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x^{2} - 4)} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x^{2} - 2^{2})} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x (x^{2}) + 8 x^{2} + 16 x}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x (x^{2}) + 4 x (2 x) + 16 x}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x (x^{2}) + 4 x (2 x) + 4 x (4)}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (2 x)$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x (x^{2} + 2 x) + 4 x (4)}$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} + 2 x) + 4 x (4)$ heraus.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 (x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{4 x (x^{2} + 2 x + 4)}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\frac{9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))}{3 (x + 2) (x - 2) (4 x (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))$ heraus.

$\frac{3 (3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2)))}{3 (x + 2) (x - 2) (4 x (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x + 2) (x - 2) (4 x (x^{2} + 2 x + 4))$ heraus.

$\frac{3 (3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2)))}{3 (((x + 2) (x - 2)) (4 x (x^{2} + 2 x + 4)))}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2)))}{3 (((x + 2) (x - 2)) (4 x (x^{2} + 2 x + 4)))}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))}{((x + 2) (x - 2)) (4 x (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) (x - 2) (4 x (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((3 (x - 2)) (x^{2} + 2 x + 4)) ((x - 1) (x + 2))}{((x + 2) (x - 2)) (4 (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) (x - 2) (4 (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((3) (x^{2} + 2 x + 4)) ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) (4 (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} + 2 x + 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) (4 (x^{2} + 2 x + 4))}$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3) ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) \cdot (4)}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 ((x - 1) (x + 2))}{(x + 2) \cdot 4}$

Schritt 4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3) (x - 1)}{4}$

$\frac{3 (x - 1)}{4}$