Algebra Beispiele

$f (x) = 5 x - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 x - 5$ als Gleichung.

$y = 5 x - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 y - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 y - 5 = x$ um.

$5 y - 5 = x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = x + 5$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x + 5$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = x + 5$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $5$ durch $5$ .

$y = \frac{x}{5} + 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{5} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{5} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 x - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 x - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 x - 5}{5} + 1$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 x - 5$ und $5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 (x) - 5}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 (x) + 5 \cdot - 1}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 (x - 1)}{5} + 1$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 (x - 1)}{5 (1)} + 1$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{5 (x - 1)}{5 \cdot 1} + 1$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 x - 5) = \frac{x - 1}{1} + 1$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 x - 5) = x - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (5 x - 5) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 x - 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{5} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{5} + 1) = 5 (\frac{x}{5} + 1) - 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{5} + 1) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot 1 - 5$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{5} + 1) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 \cdot 1 - 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{5} + 1) = x + 5 \cdot 1 - 5$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (\frac{x}{5} + 1) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{x}{5} + 1) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{5} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{5} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 x - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{5} + 1$