Algebra Beispiele

$2 x^{\frac{3}{4}} = 16$

Schritt 1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{3}{4}} - 16 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{4}} - 16$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$2 (x^{\frac{3}{4}}) - 16 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$2 x^{\frac{3}{4}} + 2 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{4}} + 2 \cdot - 8$ heraus.

$2 (x^{\frac{3}{4}} - 8) = 0$

Schritt 3

Schreibe $x^{\frac{3}{4}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ um.

$2 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8) = 0$

Schritt 4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3}) = 0$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{4}}$ und $b = 2$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} + 4)) = 0$

Schritt 6.1.4

Stelle die Terme um.

$2 ((x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Schritt 7

Vereinfache $2 (x^{\frac{1}{4}} - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{\frac{1}{4}} + 2 \cdot - 2) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(2 x^{\frac{1}{4}} - 4) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $(2 x^{\frac{1}{4}} - 4) (2 x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{\frac{1}{4}} (2 x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{4}}$ .

$2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{2}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.3.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.4.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}}) + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.4.6

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 2 x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 (2 x^{\frac{1}{4}}) - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 4 = 0$

Schritt 7.3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Schritt 7.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 8 x^{\frac{1}{4}} - 8 x^{\frac{1}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16$ .

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $8 x^{\frac{1}{4}}$ von $8 x^{\frac{1}{4}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} + 0 - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{4}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 16 = 0$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $4 x^{\frac{1}{2}}$ von $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{4}} + 0 - 16 = 0$

Schritt 7.3.2.4

Addiere $2 x^{\frac{3}{4}}$ und $0$ .

$2 x^{\frac{3}{4}} - 16 = 0$

Schritt 8

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{\frac{3}{4}} = 16$

Schritt 9

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{3}{4}}$ an.

$2^{\frac{4}{3}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 10.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{4}{3}} x^{1} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.3

Vereinfache.

$2^{\frac{4}{3}} x = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 10.1.4

Stelle die Faktoren in $2^{\frac{4}{3}} x$ um.

$x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$ durch $2^{\frac{4}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 2^{\frac{4}{3}} = 16^{\frac{4}{3}}$ durch $2^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}} = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}} = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Wende die Quotientenregel an $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.3.2.1

Dividiere $16$ durch $2$ .

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Schritt 11.3.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 11.3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 11.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 11.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{4}$

Schritt 11.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$x = 16$