Algebra Beispiele

$\frac{10 \sqrt{2 x^{20}} + 7 \sqrt{8 x^{20}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x^{20}}$ als ${(2 x^{20})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 {(2 x^{20})}^{\frac{1}{2}} + 7 \sqrt{8 x^{20}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 x^{20}}$ als ${(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 {(2 x^{20})}^{\frac{1}{2}} + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $2 x^{20}$ an.

$\frac{10 (2^{\frac{1}{2}} {(x^{20})}^{\frac{1}{2}}) + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{20})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (2^{\frac{1}{2}} x^{20 (\frac{1}{2})}) + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{10 (2^{\frac{1}{2}} x^{2 (10) \frac{1}{2}}) + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (2^{\frac{1}{2}} x^{2 \cdot 10 \frac{1}{2}}) + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 (2^{\frac{1}{2}} x^{10}) + 7 {(8 x^{20})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel auf $8 x^{20}$ an.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 (8^{\frac{1}{2}} {(x^{20})}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{20})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 (8^{\frac{1}{2}} x^{20 (\frac{1}{2})})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 (8^{\frac{1}{2}} x^{2 (10) \frac{1}{2}})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 (8^{\frac{1}{2}} x^{2 \cdot 10 \frac{1}{2}})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 (8^{\frac{1}{2}} x^{10})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x^{10}$ aus $10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} x^{10}$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{10}$ aus $10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} x^{10}}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x^{10}$ aus $7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) + x^{10} (7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) + x^{10} (7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{18 x^{20}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $18 x^{20}$ als ${(3 x^{10})}^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{9 (2) x^{20}}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{3^{2} \cdot 2 x^{20}}}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{20}$ als ${(x^{10})}^{2}$ um.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{3^{2} \cdot 2 {(x^{10})}^{2}}}$

Schritt 2.1.4

Bewege $2$ .

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{3^{2} {(x^{10})}^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $3^{2} {(x^{10})}^{2}$ als ${(3 x^{10})}^{2}$ um.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{{(3 x^{10})}^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{3 x^{10} \sqrt{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{10} (10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{3 x^{10} \sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{(10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \sqrt{2} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Multipliziere $10 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{1 + 1}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3

Multipliziere $7 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})})}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{1 + 3}{2}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.6

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.3.7.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{10 \cdot 2^{1} + 7 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{10 \cdot 2 + 7 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{20 + 7 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{20 + 7 \cdot 4}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{20 + 28}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.8

Addiere $20$ und $28$ .

$\frac{48}{3 \cdot 2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{48}{6}$

Schritt 7.2

Dividiere $48$ durch $6$ .

$8$