Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 6 + 4} = x + 3$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x + 6 + 4}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 6 + 4}$ als ${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 6 + 4)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $6$ und $4$ .

${(2 x + 10)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache.

$2 x + 10 = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x + 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$2 x + 10 = (x + 3) (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 10 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 10 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 10 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 6 x + 9 = 2 x + 10$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x = 10$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $6 x$ .

$x^{2} + 4 x + 9 = 10$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 9 - 10 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $10$ von $9$ .

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x + 6 + 4} = x + 3$ nicht erfüllen.

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 0.23606797 \dots$