Algebra Beispiele

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Schritt 1

Vereinfache $3 x (x + 1)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Schritt 1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x (x + 5)$

Schritt 2

Vereinfache $x (x + 5)$ .

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 x \leq x \cdot x + x \cdot 5$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + x \cdot 5$

Schritt 2.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + 5 x$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} \leq 5 x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} - 5 x \leq 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 5 x \leq 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $5 x$ von $3 x$ .

$2 x^{2} - 2 x \leq 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 x (x) - 2 x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 x (x) + 2 x (- 1) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 1)$ heraus.

$2 x (x - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- 2) ((- 2) + 1) \leq (- 2) ((- 2) + 5)$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $- 6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (0.5) ((0.5) + 1) \leq (0.5) ((0.5) + 5)$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $2.25$ ist kleiner als die rechte Seite $2.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (4) ((4) + 1) \leq (4) ((4) + 5)$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $60$ ist größer als die rechte Seite $36$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 1$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 \leq x \leq 1$

Intervallschreibweise:

$[0, 1]$

Schritt 14