Algebra Beispiele

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ um.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

Schritt 2.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.5.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache ${(4 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$y = 4^{2} x^{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 x^{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Schritt 4.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

Schritt 4.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (16 x^{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $16 x^{2}$ an.

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Schritt 4.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

Schritt 4.3.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.3.7

Vereinfache.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (16 x^{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$