Algebra Beispiele

$\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} (\frac{25}{x}) - \log_{5} (x) = 4$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{\frac{25}{x}}{x}) = 4$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{5} (\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}) = 4$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{25}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Schritt 4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{5} (\frac{25}{x^{1 + 1}}) = 4$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$

Schritt 5

Schreibe $\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{25}{x^{2}}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$ um.

$\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$

Schritt 6.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 625$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{25}{x^{2}} = 625$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{25}{x^{2}} = 625$ mit $x^{2}$ .

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$25 = 625 x^{2}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $625 x^{2} = 25$ um.

$625 x^{2} = 25$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $625 x^{2} = 25$ durch $625$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $625 x^{2} = 25$ durch $625$ .

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $625$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{625}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $625$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$x^{2} = \frac{25 (1)}{625}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $25$ aus $625$ heraus.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Schritt 6.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Schritt 6.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Schritt 6.5.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.4.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 6.5.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Schritt 6.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 6.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{5}$

Schritt 6.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.2$