Algebra Beispiele

$y = 2 \sqrt{x + 7}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sqrt{y + 7}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt{y + 7} = x$ um.

$2 \sqrt{y + 7} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{y + 7} = x$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{y + 7} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{y + 7}$ durch $1$ .

$\sqrt{y + 7} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 7}$ als ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 7 = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$y + 7 = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y + 7 = \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{{(2 \sqrt{x + 7})}^{2}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{x + 7}$ an.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ als $x + 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.1.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x + 7$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 7 - 7$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{4} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{(\frac{x^{2}}{4} - 7) + 7}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $\frac{x^{2}}{4}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$