Algebra Beispiele

Solve $\sqrt{x + 84} = \sqrt{x} + 6$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 84}}^{2} = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 84}$ als ${(x + 84)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 84)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + 84)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 84)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 84)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 84)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 84)}^{1} = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 84 = {(\sqrt{x} + 6)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{x} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{x} + 6)}^{2}$ als $(\sqrt{x} + 6) (\sqrt{x} + 6)$ um.

$x + 84 = (\sqrt{x} + 6) (\sqrt{x} + 6)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{x} + 6) (\sqrt{x} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 84 = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 6) + 6 (\sqrt{x} + 6)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 84 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt{x} + 6)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 84 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$x + 84 = {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$x + 84 = {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 84 = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 84 = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 84 = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 84 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 84 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 84 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 84 = x^{1} + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$x + 84 = x + \sqrt{x} \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$x + 84 = x + 6 \cdot \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x + 84 = x + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 36$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $6 \sqrt{x}$ und $6 \sqrt{x}$ .

$x + 84 = x + 12 \sqrt{x} + 36$

Schritt 3

Löse nach $12 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x + 12 \sqrt{x} + 36 = x + 84$ um.

$x + 12 \sqrt{x} + 36 = x + 84$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $12 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sqrt{x} + 36 = x + 84 - x$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sqrt{x} = x + 84 - x - 36$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 84 - x - 36$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$12 \sqrt{x} = 0 + 84 - 36$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $84$ .

$12 \sqrt{x} = 84 - 36$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $36$ von $84$ .

$12 \sqrt{x} = 48$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(12 \sqrt{x})}^{2} = 48^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(12 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 48^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(12 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $12 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$12^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 48^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$144 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 48^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 48^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 48^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{1} = 48^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$144 x = 48^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $48$ mit $2$ .

$144 x = 2304$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $144 x = 2304$ durch $144$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $144 x = 2304$ durch $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{2304}{144}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $144$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{144 x}{144} = \frac{2304}{144}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2304}{144}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $2304$ durch $144$ .

$x = 16$