Algebra Beispiele

$\log_{b} (x) + \log_{b} (3) = \log_{b} (27) - 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 3) = \log_{b} (27) - 1$

Schritt 1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{b} (3 x) = \log_{b} (27) - 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{b} (3 x) - \log_{b} (27) = - 1$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{3 x}{27}) = - 1$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{b} (\frac{3 (x)}{27}) = - 1$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\log_{b} (\frac{3 x}{3 \cdot 9}) = - 1$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{b} (\frac{3 x}{3 \cdot 9}) = - 1$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{b} (\frac{x}{9}) = - 1$

Schritt 5

Schreibe $\log_{b} (\frac{x}{9}) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$b^{- 1} = \frac{x}{9}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{9} = b^{- 1}$ um.

$\frac{x}{9} = b^{- 1}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 b^{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{x}{9} = 9 b^{- 1}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 9 b^{- 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $9 b^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 9 \frac{1}{b}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{b}$ .

$x = \frac{9}{b}$