Algebra Beispiele

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Faktorisiere $5$ aus $10 x + 5$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 x) + 5 (1)$ heraus.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.6.5

Vereinfache.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Schreibe $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Schritt 8

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Schritt 9

Vereinfache $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Schritt 9.3

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Schritt 10

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Schritt 11

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Schritt 12

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ als ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 13.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 13.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 13.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 13.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.2

Multipliziere $(10 x + 5) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.3.2

Addiere $10 x$ und $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.2.1.4

Vereinfache.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Vereinfache ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

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Schritt 13.3.1.1

Schreibe ${(3 + 3 x)}^{2}$ als $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ um.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Schritt 13.3.1.2

Multipliziere $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Schritt 13.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Schritt 13.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Schritt 13.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Schritt 13.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Schritt 13.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Schritt 13.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Schritt 13.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Schritt 13.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Schritt 13.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Schritt 13.3.1.3.2

Addiere $9 x$ und $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Schritt 14

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 14.1.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Schritt 14.1.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Schritt 14.1.4

Subtrahiere $18 x$ von $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Schritt 14.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Schritt 14.3

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Schritt 14.4

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 14.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 14.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 14.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 14.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 14.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 14.7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 14.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 1$

Schritt 15

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ nicht erfüllen.

$x = 4$