Algebra Beispiele

${(3 a + 2 b)}^{2} - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(3 a + 2 b)}^{2}$ als $(3 a + 2 b) (3 a + 2 b)$ um.

$(3 a + 2 b) (3 a + 2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(3 a + 2 b) (3 a + 2 b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a (3 a + 2 b) + 2 b (3 a + 2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a (3 a) + 3 a (2 b) + 2 b (3 a + 2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 a (3 a) + 3 a (2 b) + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 3 a \cdot a + 3 a (2 b) + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $a$ .

$3 \cdot 3 (a \cdot a) + 3 a (2 b) + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$3 \cdot 3 a^{2} + 3 a (2 b) + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 a^{2} + 3 a (2 b) + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 3 \cdot 2 a b + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 2 b (3 a) + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 6 a b + 2 \cdot 3 b a + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 6 b a + 2 b (2 b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 6 a b + 6 b a + 2 \cdot 2 b \cdot b - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.9

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.9.1

Bewege $b$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 6 b a + 2 \cdot 2 (b \cdot b) - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.9.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 6 b a + 2 \cdot 2 b^{2} - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 6 b a + 4 b^{2} - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Addiere $6 a b$ und $6 b a$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $b$ .

$9 a^{2} + 6 a b + 6 a b + 4 b^{2} - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $6 a b$ und $6 a b$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - {(a + 3 b + 2 c)}^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe ${(a + 3 b + 2 c)}^{2}$ als $(a + 3 b + 2 c) (a + 3 b + 2 c)$ um.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - ((a + 3 b + 2 c) (a + 3 b + 2 c))$

Schritt 1.5

Multipliziere $(a + 3 b + 2 c) (a + 3 b + 2 c)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a \cdot a + a (3 b) + a (2 c) + 3 b a + 3 b (3 b) + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + a (3 b) + a (2 c) + 3 b a + 3 b (3 b) + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + a (2 c) + 3 b a + 3 b (3 b) + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 3 b (3 b) + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 3 \cdot 3 b \cdot b + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.5

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.5.1

Bewege $b$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 3 \cdot 3 (b \cdot b) + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.5.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 3 \cdot 3 b^{2} + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 3 b (2 c) + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 3 \cdot 2 b c + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 2 c (3 b) + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 2 \cdot 3 c b + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 2 c (2 c))$

Schritt 1.6.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 2 \cdot 2 c \cdot c)$

Schritt 1.6.12

Multipliziere $c$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.12.1

Bewege $c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 2 \cdot 2 (c \cdot c))$

Schritt 1.6.12.2

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 2 \cdot 2 c^{2})$

Schritt 1.6.13

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 2 a c + 3 b a + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 4 c^{2})$

Schritt 1.7

Addiere $3 a b$ und $3 b a$ .

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Schritt 1.7.1

Bewege $b$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 3 a b + 3 a b + 2 a c + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 4 c^{2})$

Schritt 1.7.2

Addiere $3 a b$ und $3 a b$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 6 a b + 2 a c + 9 b^{2} + 6 b c + 2 c a + 6 c b + 4 c^{2})$

Schritt 1.8

Addiere $2 a c$ und $2 c a$ .

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Schritt 1.8.1

Bewege $c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 6 a b + 9 b^{2} + 6 b c + 2 a c + 2 a c + 6 c b + 4 c^{2})$

Schritt 1.8.2

Addiere $2 a c$ und $2 a c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 6 a b + 9 b^{2} + 6 b c + 4 a c + 6 c b + 4 c^{2})$

Schritt 1.9

Addiere $6 b c$ und $6 c b$ .

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Schritt 1.9.1

Bewege $c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 6 a b + 9 b^{2} + 6 b c + 6 b c + 4 a c + 4 c^{2})$

Schritt 1.9.2

Addiere $6 b c$ und $6 b c$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - (a^{2} + 6 a b + 9 b^{2} + 12 b c + 4 a c + 4 c^{2})$

Schritt 1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - (6 a b) - (9 b^{2}) - (12 b c) - (4 a c) - (4 c^{2})$

Schritt 1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 (a b) - (9 b^{2}) - (12 b c) - (4 a c) - (4 c^{2})$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 (a b) - 9 b^{2} - (12 b c) - (4 a c) - (4 c^{2})$

Schritt 1.11.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 (a b) - 9 b^{2} - 12 (b c) - (4 a c) - (4 c^{2})$

Schritt 1.11.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 (a b) - 9 b^{2} - 12 (b c) - 4 (a c) - (4 c^{2})$

Schritt 1.11.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 (a b) - 9 b^{2} - 12 (b c) - 4 (a c) - 4 c^{2}$

Schritt 1.12

Entferne die Klammern.

$9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - a^{2} - 6 a b - 9 b^{2} - 12 b c - 4 a c - 4 c^{2}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $9 a^{2}$ .

$8 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} - 6 a b - 9 b^{2} - 12 b c - 4 a c - 4 c^{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6 a b$ von $12 a b$ .

$8 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b - 9 b^{2} - 12 b c - 4 a c - 4 c^{2}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $9 b^{2}$ von $4 b^{2}$ .

$8 a^{2} - 5 b^{2} + 6 a b - 12 b c - 4 a c - 4 c^{2}$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Bewege $- 12 b c$ .

$8 a^{2} - 5 b^{2} + 6 a b - 4 a c - 12 b c - 4 c^{2}$

Schritt 2.4.2

Bewege $- 5 b^{2}$ .

$8 a^{2} + 6 a b - 4 a c - 5 b^{2} - 12 b c - 4 c^{2}$