Algebra Beispiele

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $6$ ist.

$1, 5$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$8 x, 8 x^{2}, x$

Schritt 2.2

Da $8 x, 8 x^{2}, x$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $8, 8, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Primfaktoren von $8$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.1

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 2.4.2

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.6

Das kgV von $8, 8, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.7

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8$

Schritt 2.8

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.10

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Das kgV von $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 2.13

Das kgV von $8 x, 8 x^{2}, x$ ist der numerische Teil $8$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$8 x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ mit $8 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ mit $8 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{8 x} (8 x^{2}) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$8 \frac{x - 1}{8 (x)} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 1}{x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$(x - 1) x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 (x^{2})} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x = (x + 1) (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $(x + 1) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x (x + 5) + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Addiere $5 x$ und $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (8 x^{2})$

Schritt 3.3.1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Schritt 3.3.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Schritt 3.3.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - (8 x)$

Schritt 3.3.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - 8 x$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $6 x$ .

$x^{2} - x = x^{2} - 2 x + 5$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - x^{2} = - 2 x + 5$

Schritt 4.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - x^{2} + 2 x = 5$

Schritt 4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - x - x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x + 0 + 2 x = 5$

Schritt 4.3.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$- x + 2 x = 5$

Schritt 4.4

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$x = 5$