Algebra Beispiele

$y = x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2 = 0$ um.

$x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.2.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.4.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \sqrt{2}$ doppelte Wurzeln

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache ${(0)}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 0 + 2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 \sqrt{2} \cdot 0 + 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$y = 0 + 0 \sqrt{2} + 2$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$y = 0 + 0 + 2$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 2$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2)$

Schritt 4