Algebra Beispiele

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Schritt 2.1.2.2

Stelle um.

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Schritt 2.1.2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Schritt 2.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Schritt 2.2

Schreibe $\log (2 x - x^{2}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x - x^{2} = 10^{1}$ um.

$2 x - x^{2} = 10$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Schritt 2.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2$ und $c = - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Subtrahiere $40$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (2 x - x^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$2 x - x^{2} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x - x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- x)$ heraus.

$x (2 - x) = 0$

Schritt 3.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 3.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 3.2.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 3.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 3.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Schritt 3.2.8.1.3

Die linke Seite $- 8$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Schritt 3.2.8.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Schritt 3.2.8.3.3

Die linke Seite $- 8$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 3.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 2$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, 2)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 2$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 2$

Intervallschreibweise:

$(0, 2)$

Schritt 8