Algebra Beispiele

$3 x - 2 = 5 y + 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $5 y + 7 = 3 x - 2$ um.

$5 y + 7 = 3 x - 2$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 3 x - 2 - 7$

Schritt 2.2

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$5 y = 3 x - 9$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 3 x - 9$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 3 x - 9$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 9}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 4

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y}{5} - \frac{9}{5} = x$ um.

$\frac{3 y}{5} - \frac{9}{5} = x$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{9}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{5} = x + \frac{9}{5}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} (x + \frac{9}{5})$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 9$

Schritt 5.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Schritt 5.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{3} + 3$

Schritt 6

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} + 3$

Schritt 7

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}$ ist.

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Schritt 7.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 7.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 7.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 7.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5})}{3} + 3$

Schritt 7.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x - 9}{5})}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 9$ heraus.

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{5 (\frac{3 (x) - 9}{5})}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{5 (\frac{3 x + 3 \cdot - 3}{5})}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{5 (\frac{3 (x - 3)}{5})}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{3 (x - 3)}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{5 (3 (x - 3))}{5}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{15 (x - 3)}{5}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{15 (x - 3)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15 (x - 3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{5 (3 (x - 3))}{5}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{5 (3 (x - 3))}{5 (1)}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{5 (3 (x - 3))}{5 \cdot 1}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{\frac{3 (x - 3)}{1}}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.4.2

Dividiere $3 (x - 3)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{3 (x - 3)}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = \frac{3 (x - 3)}{3} + 3$

Schritt 7.2.3.5.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = x - 3 + 3$

Schritt 7.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

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Schritt 7.2.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = x + 0$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}) = x$

Schritt 7.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 7.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 7.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3} + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{3 (\frac{5 x}{3} + 3)}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{3 (\frac{5 x}{3} + 3) - 9}{5}$

Schritt 7.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 \cdot 3 - 9}{5}$

Schritt 7.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{3 (\frac{5 x}{3}) + 3 \cdot 3 - 9}{5}$

Schritt 7.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{5 x + 3 \cdot 3 - 9}{5}$

Schritt 7.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{5 x + 9 - 9}{5}$

Schritt 7.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x + 9 - 9$ .

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Schritt 7.3.5.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 7.3.5.1.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 7.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 7.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x}{3} + 3) = x$

Schritt 7.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x}{5} - \frac{9}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} + 3$