Algebra Beispiele

$- x^{3} - 4 = 0.5 x^{2} + x + 4$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$0.5 x^{2} + x + 4 = - x^{3} - 4$

Schritt 2

Addiere $x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.5 x^{2} + x + 4 + x^{3} = - 4$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.5 x^{2} + x + 4 + x^{3} + 4 = 0$

Schritt 4

Addiere $4$ und $4$ .

$0.5 x^{2} + x + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $0.5 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $0.5 x^{2}$ heraus.

$x (0.5 x) + x + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x (0.5 x) + x + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x (0.5 x) + x \cdot 1 + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (0.5 x) + x \cdot 1$ heraus.

$x (0.5 x + 1) + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 x + 1$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 x$ heraus.

$x (0.5 (x) + 1) + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $0.5$ aus $1$ heraus.

$x (0.5 x + 0.5 \cdot 2) + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 x + 0.5 \cdot 2$ heraus.

$x (0.5 (x + 2)) + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x \cdot (0.5 (x + 2)) + x^{3} + 8 = 0$

Schritt 5.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x \cdot (0.5 (x + 2)) + x^{3} + 2^{3} = 0$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$x \cdot (0.5 (x + 2)) + (x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \cdot (0.5 (x + 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x \cdot (0.5 (x + 2)) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x + 2$ aus $x \cdot 0.5 (x + 2) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $x \cdot 0.5 (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) (x \cdot 0.5) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (x \cdot 0.5) + (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ heraus.

$(x + 2) (x \cdot 0.5 + x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 5.7

Bringe $0.5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 2) (0.5 x + x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Schritt 5.8

Subtrahiere $2 x$ von $0.5 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1.5 x + 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 1.5 x + 4 = 0$

Schritt 7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8

Setze $x^{2} - 1.5 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{2} - 1.5 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 1.5 x + 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{2} - 1.5 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1.5$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1.5 \pm \sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.1.1

Potenziere $- 1.5$ mit $2$ .

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $2.25$ .

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{- 13.75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.4

Schreibe $- 13.75$ als $- 1 (13.75)$ um.

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13.75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (13.75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13.75}$ um.

$x = \frac{1.5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13.75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1.5 \pm i \sqrt{13.75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1.5 \pm i \sqrt{13.75}}{2}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1.5 + i \sqrt{13.75}}{2}, \frac{1.5 - i \sqrt{13.75}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x^{2} - 1.5 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, \frac{1.5 + i \sqrt{13.75}}{2}, \frac{1.5 - i \sqrt{13.75}}{2}$