Algebra Beispiele

${(4 x)}^{\frac{1}{3}} - x = 0$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$4^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $4^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $4^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} - x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- x$ heraus.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{2}{3}})$ heraus.

$x^{\frac{1}{3}} (4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

$4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 4.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ gleich $0$ .

$4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 5.2

Löse $4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4^{\frac{1}{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{\frac{2}{3}} = - 4^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache ${(- x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- x^{\frac{2}{3}}$ an.

${(- 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ um.

$\sqrt{{(- 1)}^{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{- 1} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$i {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$i x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$i x^{1} = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.6

Vereinfache.

$i x = \pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache $\pm {(- 4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4^{\frac{1}{3}}$ an.

$i x = \pm {(- 1)}^{\frac{3}{2}} {(4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ um.

$i x = \pm \sqrt{{(- 1)}^{3}} {(4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$i x = \pm \sqrt{- 1} {(4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$i x = \pm i {(4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.2.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(4^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i x = \pm i \cdot 4^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i x = \pm i \cdot 4^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$i x = \pm i \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$i x = \pm i \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.2.1.5.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i x = \pm i \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.2.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$i x = \pm i \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.2.3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$i x = \pm i \cdot 2^{1}$

Schritt 5.2.3.2.1.7

Berechne den Exponenten.

$i x = \pm i \cdot 2$

Schritt 5.2.3.2.1.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$i x = \pm 2 i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$i x = 2 i$

Schritt 5.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $i x = 2 i$ durch $i$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $i x = 2 i$ durch $i$ .

$\frac{i x}{i} = \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i x}{i} = \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.2.4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.2.3.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = 2$

Schritt 5.2.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$i x = - 2 i$

Schritt 5.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $i x = - 2 i$ durch $i$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $i x = - 2 i$ durch $i$ .

$\frac{i x}{i} = \frac{- 2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{i x}{i} = \frac{- 2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $i$ .

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Schritt 5.2.4.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 i}{i}$

Schritt 5.2.4.4.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - 2$

Schritt 5.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{1}{3}} (4^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 2$